Introducere în logica propoziţională

Limbajul natural include şi situaţii care nu pot fi formalizate prin intermediul logicii termenilor. De aceea, pentru determinarea validităţii (corectitudinii) unor raţionamente, avem nevoie de un alt fel de logică: logica propoziţiilor/logica propoziţională. Unitatea logică de bază nu mai este termenul – precum în logica termenilor – ci propoziţia simplă (atomară) şi neanalizabilă. Exemplu: Fraza „Dacă este prea cald, mă duc la piscină” nu poate fi abordată în logica termenilor. Se recurge la conectorii logici! Nu orice construcţie lingvistică reprezintă o propoziţie (excluse: enunţurile interogative, exclamative etc.) Ceea ce rămâne neschimbat prin traducerea dintr-o limbă în alta – înţelesul.

I. PROPOZIŢIA ATOMARĂo propoziţie simplă, care are în vedere un fapt şi care posedă o valoare de adevăr (adevărat/fals).

Exemple:

                                    „Afară plouă”

„Îmi iau umbrela”

„Stau acasă”

„Mă duc la pescuit” etc.

SIMBOLIZARE:         

p, q, r, s … VARIABILE PROPOZIŢIONALE/variabile logice

VALORILE DE ADEVĂR:

                                    adevărat – simbol: 1

                                    fals – simbol: 0

II. PROPOZIŢIA COMPUSĂ combinaţie complexă de propoziţii atomare legate prin expresii precum: „dacă … atunci …”, „şi”, „sau”, „dacă şi numai dacă” etc.

Exemple:

Dacă plouă afară, atunci îmi iau umbrela şi mă duc la pescuit”;

Dacă şi numai dacă plouă afară, atunci stau acasă”;

„Stau acasă sau mă duc la pescuit”

Nu stau acasă şi mă duc la pescuit” etc.

Conectorii logiciconstante propoziţionale/constante logice – expresii care leagă propoziţiile simple în propoziţii compuse; conectează propoziţiile atomare, generând propoziţii compuse sau moleculare.

O proprietate importantă a conectorilor logici: valoarea de adevăr a propoziţiilor compuse depinde de valoarea de adevăr a propoziţiilor atomare componente. Propoziţiile compuse sunt tratate ca FUNCŢII DE ADEVĂR!

Dacă avem două variabile propoziţionale atunci avem 16 conectori logici binari. (Vezi Manual p. 30)

Cei mai importanţi conectori logici:

  • NEGAŢIA
  • CONJUNCŢIA
  • DISJUNCŢIA
  • IMPLICAŢIA
  • ECHIVALENŢA

1. NEGAŢIA   (operator monadic)

Simbol: „┐”; „~”; „p”.

Matricea de adevăr:

 

p

 

p

1

0

0

1

Prin negarea unei propoziţii p se obţine o nouă propoziţie (non-p), complementară în raport cu prima, care este adevărată când p este falsă şi falsă când p este adevărată.

Exprimare în limbaj natural:

„Nu este adevărat că …”; „nu …”; „este fals că …”.

Exemplu:

Dacă avem propoziţia „Afară plouă” → negaţia ei poate îmbrăca următoarele forme:

„Afară nu plouă”;

Nu plouă afară”;

Nu este cazul că afară plouă”;

Este fals că afară plouă”.

Propoziţia iniţială (p) şi negaţia ei (p) se află în raport de contradicţie, adică nu pot fi simultan nici adevărate, nici false. Negaţia schimbă valoarea de adevăr a unei propoziţii. Prin dubla negaţie a unei propoziţii se obţine propoziţia iniţială: ┐┐p p.

2. CONJUNCŢIA (operator diadic)

Simbol: „&”; “∙„; „^”.

Matricea de adevăr:

p

q

p&q

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

0

0

Exprimare în limbaj natural:

            „şi”; „dar”; „iar”; „şi totuşi”; „însă”; „ci”; „ … în timp ce …”; „ … pe când …”; „deşi”; „cu toate că”; „ în pofida”.

Conjuncţia a două propoziţii este adevărată numai dacă ambele propoziţii sunt adevărate. În restul cazurilor, când cel puţin una este falsă, şi conjuncţia lor va fi falsă.

Exemplu:

Două propoziţii: „Afară plouă” şi „Eu plec la pescuit” conjuncţia lor poate fi regăsită în una din următoarele exprimări: „Afară plouă şi eu plec la pescuit”, „Afară plouă, iar eu plec la pescuit”, „Deşi afară plouă, eu plec la pescuit” etc. Dacă unul dintre termenii unei conjuncţii este fals, atunci întreaga conjuncţie va fi falsă (p&q 0). Dacă unul dintre termenii conjuncţiei este adevărat, valoarea sa de adevăr este determinată de valoarea celuilalt termen (p&1 0).

3. DISJUNCŢIA

Simbol: „v”; “w”.

Matricea de adevăr:

p

q

p v q

1

1

0

0

1

0

1

0

1

1

1

0

p

q

p w q

1

1

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

  1. DISJUNCŢIA INCLUSIVĂ – este adevărată dacă cel puţin una dintre cele două propoziţii este adevărată; este falsă dacă ambele propoziţii sunt false.

Exemplu: Mă duc la mare sau mă duc la munte” (ambele acţiuni pot fi împlinite).

 

  1. DISJUNCŢIA EXCLUSIVĂeste adevărată atunci când termenii ei au valori de adevăr diferite

      Exemplu:Sau mă duc la mare, sau mă duc la munte” (exprimă o disjuncţie exclusivă).

„ori … ori …”

„fie … fie …”

Exprimare în limbaj natural:

„sau”; „ori”; „fie”; „sau … sau …”; „fie … fie”; „ori … ori …”; „sau măcar”; „ba”.

Dacă unul dintre termenii unei disjuncţii inclusive este adevărat, atunci întreaga conjuncţie va fi adevărată (p v q 1).

Dacă unul dintre termenii disjuncţiei este fals, valoarea sa de adevăr este determinată de valoarea celuilalt termen (p v 0 p).

4. IMPLICAŢIA (condiţional)

Simbol:  „→”.

Matricea de adevăr:

p

q

p  q

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

Implicaţia reprezintă o relaţie de succesiune logică între două propoziţii; este falsă doar dacă prima propoziţie a implicaţiei este adevărată şi cea de-a două este falsă, în restul cazurilor implicaţia este adevărată.

Exprimare în limbaj natural:

„dacă … atunci”; „când … atunci …”; „dacă …, înseamnă că …”; „deci”; „ … implică …”; „din … rezultă că …”; „o condiţie suficientă”; „pentru că”; „deoarece”; „fiindcă”; „din … deducem pe …”.

Exemplu:

„Dacă plouă (p) atunci îmi iau umbrela (q)”.

pantecedent; qconsecvent.

pcondiţie suficientă pentru q

q – condiţie necesară pentru p.

Expresia „numai dacă”, „doar dacă” etc. reprezintă o IMPLICAŢIE INVERSĂ. De exemplu: „Numai dacă plouă (p) îmi iau umbrela (q)”; Formula logică: „q → p”.

            LEGI DE REDUCERE A VALORII:

  • Dacă antecedentul este adevărat, valoarea de adevăr a implicaţiei este identică cu aceea a consecventului său: (1 → p q).
  • Dacă antecedentul este fals, implicaţia este adevărată: (0 → q 1).
  • Dacă consecventul său este adevărat, implicaţia este adevărată: (p → 1 1).
  • Dacă consecventul este fals, valoarea de adevăr a implicaţiei este aceeaşi cu a negaţiei antecedentului: (p → 0 p).

 5. ECHIVALENŢA (dubla implicaţie; bicondiţional)

 Simbol:  „↔”; „≡”.

Matricea de adevăr:

p

q

p  q

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

Echivalenţa exprimă o relaţie de concordanţă logică; este adevărată numai dacă ambele propoziţii au aceeaşi valoare de adevăr.

Două propoziţii sunt logic echivalente dacă au aceeaşi valoare de adevăr.

Exprimare în limbaj natural:

„dacă şi numai dacă … atunci …”; „dacă şi numai dacă … este echivalent cu …”; „ … numai dacă …, este o condiţie necesară şi suficientă …”.

[p  q] [(p  q) & (q  p)]

(conjuncţie de implicaţii reciproce)

Dacă una dintre componentele unei echivalenţe este adevărată, valoarea de adevăr a echivalenţei depinde de valoarea de adevăr a celeilalte componente:

(p 1 p)

Dacă una dintre componentele echivalenţei este falsă, valoarea de adevăr a echivalenţei este aceeaşi cu negaţia celeilalte componente: 

(p 0 p)


Această intrare a fost publicată în Logica.

Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile despre tine sau dă clic pe un icon pentru autentificare:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s